Les polygones réguliers

Considérons un polygone à n côtés.

On dit qu'un tel polygone est régulier lorsque :

• il est convexe (tout segment joignant deux points du polygone est contenu dans ce polygone).
  Voici un exemple de polygone convexe et un non convexe :
  
  
  
• il existe une rotation d'angle 360°/n pour laquelle il est invariant (il se superpose à lui même).
  Voici l'exemple de l'ennéagone régulier :
  

Un polygone régulier est donc inscriptible dans un cercle dont le centre est celui de la rotation.

Si l'on note R le rayon du cercle circonscrit à un polygone régulier à n côtés, on peut déterminer en fonction de R et n :

• La distance d séparant deux points consécutifs du polygone ;
• Le périmètre p du polygone ;
• L'aire A du polygone ;
• L'apothème a du polygone (le rayon du cercle inscrit à ce polygone).

En se plaçant dans un triangle formé par le centre du polygone, un sommet et un sommet consécutif, par exemple A₀OA₁:

Dans le triangle rectangle A₀OH, l'angle en O est de 180°/n, donc a = R×cos(180°/n) ; HA₀ = R×sin(180°/n) d'où A₀A₁ = 2R×sin(180°/n) et donc p = 2nR×sin(180°/n).
L'aire du triangle A₀OA₁ est A₀A₁×OH/2 = R²×cos(180°/n)×sin(180°/n) = R²×sin(360°/n)/2.
D'où l'aire du polygone est A = nR²×sin(360°/n)/2.

Voici un récapitulatif de ces valeurs en prenant R=1.
Les cellules sans valeurs signifient qu'une valeur exacte exprimable par radicaux n'existe pas.

Si vous voulez une version téléchargeable, cliquez sur L_AT_EX.

I) Construction de polygones réguliers selon le nombre de côté n.

Pour n=3.
Dans ce cas le tétragone régulier est un triangle équilatéral.
- Soit O un point quelconque du plan.
- Considérons un cercle de centre O et de rayon quelconque.
- Soit A₀ un point quelconque de ce cercle, considérons le point A₀' le point diamétralement opposé à A₀.
- Soit (d) la médiatrice de [OA₀], cette droite coupe le cercle en deux points : A₁ et A₂.
- Le triangle A₀A₁A₂ est équilatéral.

Pour n=4.
Dans ce cas le tétragone régulier est un carré.
- Soit O un point quelconque du plan.
- Considérons un cercle de centre O et de rayon quelconque.
- Soit A₀ un point quelconque de ce cercle, considérons le point A₂ le point diamétralement opposé à A₀.
- Soit (d) la médiatrice de [A₀A₂], cette droite coupe le cercle en deux points : A₁ et A₃.
- Le quadrilatère A₀A₁A₂A₃ est un carré.

Pour n=5.
Ce polygone régulier est un pentagone régulier.
- Soit O un point quelconque du plan.
- Considérons un cercle de centre O et de rayon quelconque.
- Soit A₀ un point quelconque de ce cercle, considérons le point A₀' le point diamétralement opposé à A₀.
- Soit I₁ le milieu su segment [OA₀'].
- Soit (d) la médiatrice du segment [A₀A₀'], cette droite coupe le cercle en deux points J₁ et J₂.
- L'arc de cercle de centre I₁ joignant J₁ et J₂ coupe le segment [OA₀] en un point I₂.
- La médiatrice du segment [OI₂] coupe le cercle en deux points A₁ et A₄.
- En reportant la mesure A₀A₁ à partir du point A₁ sur le cercle on obtient les points A₂ et A₃.

Dans le cas n=5, on peut relier les points du pentagone régulier de façon différente de sorte à former un polygone étoilé stable par rotation d'angle 72°.
On nomme usuellement ce polygone étoilé par pentagramme.
Pour construire ce pentagramme, il suffit de relier les points du pentagone régulier de 2 en 2.
Pourquoi de 2 en 2 car PGCD(2;n)=1.
Par un calcul simple, les seuls entiers étant premiers avec n sont : 1 ; 2 ; 3 et 4.
Relier de 1 en 1 ou de 4 en 4 nous donne le même polygone (on relie juste dans l'autre sens) : le pentagone régulier, de même il est équivalent de relier de 2 en 2 ou de 3 en 3 pour obtenir le pentagramme.
Ainsi, il n'existe que le pentagone régulier et le pentagramme.

Pour n=6.
Ce polygone est un hexagone régulier.
Pour construire ce polygone, il suffit de partir du triangle équilatéral et de construire son symétrique par rapport à O, ou de construire les médiatrices des côtés adjacents.

Pour n=7.
Ce polygone est un heptagone régulier qui n'est pas constructible à la règle et au compas.
Le rapporteur est donc nécessaire pour construire ce polygone.

Comme dans le cas du pentagone régulier, on peut ici aussi construire des heptagrammes en reliant de 2 en 2 ou de 3 en 3.

Pour n=8.
Ce polygone est un octogone régulier, on peut le construire en traçant les médiatrices des côtés adjacents du carré.

On peut construire ici aussi un octogramme en reliant les points de l'octogone de 3 en 3.

Pour n=9.
Ce polygone régulier est un ennéagone régulier qui n'est pas constructible à la règle et au compas. Ici aussi on a besoin du rapporteur.

On peut construire un décagramme en reliant de 3 en 3 les sommets du décagone régulier.

Pour n=11.
Ce polygone régulier est un hendécagone que l'on peut pas construire à la règle et au compas. Il nous faut donc un rapporteur.

On peut construire quatre hendécagrammes en reliant de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4 et de 5 en 5.

Si n=12.
Ce polygone régulier est un dodécagone.
Pour le construire on procède comme suit :
- Construire comme on l'a vu un carré A₀A₃A₆A₉ et un triangle équilatéral A₀A₄A₈ inscrits dans un cercle ayant pour point commun le point initial A₀.
- Reporter la longueur A₃A₄ le long du cercle pour obtenir les autres points.

Il existe un dodécagramme en reliant de 5 en 5 :

Si n=13.
Ce polygone régulier est un triskaidécagone non constructible à la règle et au compas, voici donc une construction au rapporteur :